已知椭圆X^2/9+Y^2/4=1及点D(2,1),过点D任意引直线交椭圆于A,B两点,求线段AB中点M的轨迹方程

题目

已知椭圆X^2/9+Y^2/4=1及点D(2,1),过点D任意引直线交椭圆于A,B两点,求线段AB中点M的轨迹方程
这个的答案是4x方+9y方-8x-9y=0

答案

这种题的症结往往不是会不会做,而是算不算的出来 - -

设A(x1,y1);B(x2,y2);M(x0,y0)
设直线AB: y-1 = k(x-2) 代入椭圆 4x^2+9y^2=36

4x^2+9[ kx-(2k-1)]^2=36→ (4+9k^2)x^2 - 18(2k-1)kx+9(2k-1)^2-36=0

所以 x0 = (x1+x2)/2 = 9(2k-1)k/(4+9k^2) 将 (y0-1)/(x0-2) =k 代入

x0 = 9(y0-1)(2y0-x0)/[4(x0-2)^2+9(y0-1)^2]

4x0(x0-2)^2+9x0(y0-1)^2 -9(y0-1)(2y0-x0) = 0
→4x0(x0-2)^2+9(y0-1)[ x0y0-x0-2y0+x0]=0
→4x0(x0-2)^2+9(y0-1)y0(x0-2)=0
→ 4x0(x0-2) + 9 (y0-1)y0=0
→ 轨迹方程为 4x^2-8x+9y^2-9=0