已知函数f（x）定义域为R,对任意x,y属于R有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y),且f(0)不等于0.

题目

已知函数f（x）定义域为R,对任意x,y属于R有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y),且f(0)不等于0.
若存在常数C,使f(c/2)=0.求证：对任意x属于R,有f（x+c）=-f（x）.

答案

令y=0代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y)
则2f(x)=2f(x)^2,所以f(x)=f(x)^2,所以f(x)=0或1
令y=c/2代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y)
则f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)=0
所以f(x+c/2)^2+f(x-c/2)^2=0
所以f(x+c/2)=f(x-c/2)=0{x不等于正负c/2}
令x=x+c/2所以f(x+c)=f(x)=0=-f(x){x不等于0或-c}
下面只需证f(c)=-f(0)=-1和-f(-c)=f(0)=1
即证f(c)=f(-c)=-1
令x=y=c/2,代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y)
得f(c)+f(0)=2f(c/2)^2=0,因为f(0)=1,所以f(c)=-1
令x=c,y=c,代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y)
得f(2c)+f(0)=2f(c)^2=2
令x=c,y=-c,代入f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y)
得f(0)+f(2c)=2f(c)f(-c)=2,因为f(c)=-1,所以f(-c)=-1
所以对任意x属于R,有f（x+c）=-f（x）