已知关于x的一元二次方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0的两个根均为整数,求所有满足条件的实数k的值.

已知关于x的一元二次方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0的两个根均为整数,求所有满足条件的实数k的值.

题目
已知关于x的一元二次方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0的两个根均为整数,求所有满足条件的实数k的值.
答案
原方程可化为:[(6-k)x-9][(9-k)x-6]=0.
因为此方程是关于x的一元二次方程,
所以,k≠6,k≠9,
于是有:x1=
9
6−k
①,x2=
6
9−k
②.
由①得k=
6x1−9
x1
,由②得k=
9x2−6
x2

6x1−9
x1
=
9x2−6
x2

整理得x1x2-2x1+3x2=0,
有(x1+3)(x2-2)=-6.
∵x1、x2均为整数,
x1+3=−6,−3,−2,−1,1,2,3,6
x2−2=1,2,3,6,−6,−3,−2,−1

故x1=-9,-6,-5,-4,-2,-1,0,3.
又k=
6x1−9
x1
=6-
9
x1

将x1=-9,-6,-5,-4,-2,-1,3分别代入,得
k=7,
15
2
39
5
33
4
21
2
,15,3.
首先对方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0因式分解可得[(6-k)x-9][(9-k)x-6]=0,于是有x1=
9
6−k
,x2=
6
9−k
.消去k后,有(x1+3)(x2-2)=-6,列出所有x1、x2对应的整数,即可求得对应的k的值.

解一元二次方程-因式分解法;因式分解的应用.

正确利用因式分解法求得方程的解,得到方程的两个解之间的关系(x1+3)(x2-2)=-6,根据x1、x2均为整数,确定x的取值是解决本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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