一道协方差的题

题目

一道协方差的题
设随机变量3X+Y和2X-3Y的方差分别为333和280,且两者的协方差为-42,求X-2Y和2X+3Y的协方差.

答案

Cov(3X+Y,2X-3Y)=Cov(3X+Y,2X)-Cov(3X+Y,3Y)=Cov(3X,2X)+Cov(Y,2X)-Cov(3X,3Y)-Cov(Y,3Y) =6Cov(X,X)+2Cov(Y,X)-9Cov(X,Y)-3Cov(Y,Y)=6DX-7Cov(X,Y)-3DY=-42; D(3X+Y)=D(3X)+D(Y)+Cov(3X,Y)=9DX+DY+3Cov(X,Y)=333; D(2X-3Y)=D(2X)+D(-3Y)+Cov(2X,-3Y)=4DX+9DY-6Cov(X,Y)=280; 这3个式子可以解出DX,DY,Cov(X,Y),然后计算Cov(X-2Y,2X+3Y) Cov(X-2Y,2X+3Y)=Cov(X,2X)+Cov(X,3Y)-Cov(2Y,2X)-CoV(2Y,3Y)=2DX-Cov(X,Y)-6DY