已知函数f(x)=px−p/x−2lnx. (1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围.

已知函数f(x)=px−p/x−2lnx. (1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围.

题目
已知函数f(x)=px−
p
x
−2lnx

(1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围.
答案
(1)当p=2时,函数f(x)=2x−
2
x
−2lnx

f(1)=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+
2
x2
2
x

曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=2+2-2=2.
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.
(2)f′(x)=p+
p
x2
2
x
px2−2x+p
x2

令h(x)=px2-2x+p,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,
只需h(x)≥0在(0,+∞)内恒成立.
由题意p>0,h(x)=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为x=
1
p
∈(0,+∞)

h(x)min=p−
1
p
,只需p−
1
p
≥0

即p≥1时,h(x)≥0,f'(x)≥0
∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,正实数p的取值范围是[1,+∞).
(1)根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=1处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式写出化简;
(2)令h(x)=px2-2x+p,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需h(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,然后建立不等关系,解之即可求出p的取值范围.

利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及利用导数研究函数的单调性等基础题知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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