侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱．已知底面是菱形的直棱柱，它的体对角线分别为9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积．

题目

侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱．已知底面是菱形的直棱柱，它的体对角线分别为9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积．

答案

如图，底面是菱形的直棱柱ABCD-A'B'C'D'中，
两条对角线长为A'C=15cm，BD'=9cm，侧棱长为AA'=DD'=5cm，
∵△BDD'和△ACA'都是直角三角形，
∴由勾股定理，得AC²=15²-5²=200，BD²=9²-5²=56，
可得AC=

200

=10

2

，BD=

56

=2

14

∵AC、BD分别是菱形ABCD的两条对角线，
∴AC、BD互相垂直平分，把菱形分成全等的四个直角三角形，
两条直角边分别是

1

2

AC=5

2

和

1

2

BD=

14

，
由勾股定理，得斜边长AB=

(5 2 )2+( 14 )2

=8．
∴该棱柱的侧面积S=4×8×5=160．

根据直棱柱的性质，结合线面垂直的性质算出底面菱形的两条对角线分别为AC=10

2

，BD=2

14

，再由菱形的性质算出底面边长为直角边分别是

1

2

AC和

1

2

BD的斜边，利用勾股定理算出底面边长为8，由此即可得出这个棱柱的侧面积．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

考点点评：本题给出底面为菱形的直棱柱，在已知对角线长和高的情况下求侧面积，着重考查了线面垂直的性质、直棱柱的结构和菱形的性质等知识，属于基础题．