从圆x^2+y^2-4x-6y+12=0外一点P(x1,y1)向圆引切线,切点为M,O为坐标原点,且满足|PM|=|PO|,求使|PM|取最小值时点P的坐标.

题目

从圆x^2+y^2-4x-6y+12=0外一点P(x1,y1)向圆引切线,切点为M,O为坐标原点,且满足|PM|=|PO|,求使|PM|取最小值时点P的坐标.

答案

x^2+y^2-4x-6y+12=0,(x-2)^2+(y-3)^2=1
圆心Q(2,3),半径1
P(x,y),切线|PM|^2=(x-2)^2+(y-3)^2-1^2=x^2+y^2-4x-6y+12
|PO|^2=x^2+y^2
|PM|=|PO|,x^2+y^2-4x-6y+12=x^2+y^2
P在直线2x+3y-6=0上.
求|PM|最小,就是求|PO|最小
在直线2x+3y-6=0上取一点到原点距离最小.
由“垂线段最短”得,直线OP垂直直线2x+3y-6=0,
直线OP过原点且斜率为3/2,方程3x-2y=0
得交点P(12/13,18/13),这就是所求的点.
|PM|min = 36/13 .