已知Rt△ABC中,∠C=90°,O为斜边AB上的一点,以O为圆心的圆与边AC,BC分别相切于点E,F,若AC=1,BC=3,则⊙O的半径为(  ) A.12 B.23 C.34 D.45

已知Rt△ABC中,∠C=90°,O为斜边AB上的一点,以O为圆心的圆与边AC,BC分别相切于点E,F,若AC=1,BC=3,则⊙O的半径为(  ) A.12 B.23 C.34 D.45

题目
已知Rt△ABC中,∠C=90°,O为斜边AB上的一点,以O为圆心的圆与边AC,BC分别相切于点E,F,若AC=1,BC=3,则⊙O的半径为(  )
A.
1
2

B.
2
3

C.
3
4

D.
4
5
答案
方法一:
如图,连接OE,OF,
设圆的半径为R,
∴OE=OF=R,
∵以O为圆心的圆与边AC,BC分别相切于点E,F,
∴四边形CEOF是正方形,
∴OF∥AC,
∴△OBF∽△ABC,
∴OF:AC=FB:BC,
∴BF=3R,
同理,AE=
1
3
R,
由勾股定理得,AO=
10
3
R,BO=
10
R,AB=
10

∵AO+BO=AB,
∴R=
3
4

方法二:连接CO,
∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,
∴S△ACB=
1
2
×AC×BC=
3
2

∵S△ACO+S△COB=S△ACB=
3
2

1
2
×EO×1+
1
2
×FO×3=
3
2

解得:EO=
3
4

则⊙O的半径为
3
4

故选C.
如图,连接OE,OF,设圆的半径为R,OE=OF=R,根据已知条件可以推出则四边形AFOE是正方形,从而得到OF∥AC,可得△OBF∽△ABC,可得OF:AC=FB:BC,由此可以把BF用R表示,同理AE也可以用R表示,然后由勾股定理得,AO=
10
3
R,BO=
10
R,AB=
10
,由此即可求出R.

切线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.

本题利用了切线的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理求解,有一定的难度.

举一反三
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