如何证明Bernoulli不等式

题目

如何证明Bernoulli不等式
听说是用数学归纳法...
但是早就忘得一干二净了...
求救>

答案

伯努利不等式:(我编过一条百科)
如果用数学归纳法(n是不小于2的整数)
设x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx.
证明:
用数学归纳法:
当n=1,上个式子成立,
设对n-1,有:
(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,
则
(1+x)^n
=(1+x)^(n-1)(1+x)
>=[1+(n-1)x](1+x)
=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2
>=1+nx
就是对一切的自然数,当
x>=-1,有
(1+x)^n>=1+nx
但n可以推广到实数幂形式:
(证明如下)
这道题主要是利用求导判断单调性.
令函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx)
先求导得f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r=r*[(1+x)^(r-1)-1]
讨论:
(1)当r>1时,(1+x)^(r-1)>1,则f'(x)>0
因此f(x)在R上是单调递增.
由于x>=-1且x不等于0,而且f(-1)=r-1>0
所以r>1,x>=-1且x不等于0,有f(x)>0
即有(1+x)^r>1+rx成立!
(2)当r0
因此f(x)在(0,正无穷大)上是单调递增.
这样在r=-1且x不等于0时,f(x)最小值为f(0)=0
因此在r=-1且x不等于0时,f(x)>0,
即(1+x)^r>1+rx成立.
综上所述:(1+x)^r>1+rx对于所有的r>1或r=-1且x不等于0成立.