在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.已知C等于60° .（1） 若a=2 b=3 求△ABC的外接圆的面积

题目

在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.已知C等于60° .（1） 若a=2 b=3 求△ABC的外接圆的面积
（2）若c=2 sinC+sin（B-A)=2sin2A 求△ABC的面积.

答案

1)
c²=a²+b²-2abcosC=7
c=√7
c/sinc=2R=2√7/√3
R=√21/3
外接圆的面积＝πR²=7π/3
（2）若c=2 sinC+sin（B-A)=2sin2A
C=π-A-B
sinC+sin（B-A)=2sin2A
sin(A+B)-sin（A-B)=2sin2A
2sinAcosB-2sin2A=0
cosAsinB-2sinAcosA=0
cosA(sinB-2sinA)=0
cosA=0 A=π/2
或sinB-2sinA=0
当cosA=0时,A=π /2 ,B=π /6 ,a=4√3 /3 ,b=2√3 / 3 ,求得此时S=2√3 / 3
当cosA≠0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,
联立方程组
a²+b²-ab=4
b=2a
解得a=2√3 /3 ,b=4√3 /3 ．
所以△ABC的面积S=(absinC)/2=2√3 /3
综上知△ABC的面积S=(absinC)/2=2√3 /3