点P是曲线y=ex上任意一点，则点P到直线y=x的最小距离为_．

题目

点P是曲线y=e^x上任意一点，则点P到直线y=x的最小距离为______．

答案

y'=e^x，令y'=e^x=1，得x=0，故P（0，1）
点P到直线y=x的最小距离为

|1−0|

12+(−1)2

=

2

2

故答案为：

2

2

过点P的切线与直线y=x平行时，两平行线之间的距离即为曲线上的点到直线的最短距离，由此知过点P的切线的斜率应为1，故可建立方程求出点P的坐标，再由点到直线的距离公式求解即可．

本题考点：导数的几何意义；点到直线的距离公式．

考点点评：本题考点是导数的几何意义，借且导数的几何意义把求曲线上点到直线距离的最小值问题转化为求导数，利用导数的几何意义建立关于切点的坐标的方程，求出切点的坐标，灵活转化是求解本题的关键．