已知a,b,c是△ABC的三条边长,且a²+b²+c²=ab+bc+ca.若△ABC的面积为25倍根号3cm².

题目

已知a,b,c是△ABC的三条边长,且a²+b²+c²=ab+bc+ca.若△ABC的面积为25倍根号3cm².
求这个三角形的边长.（前面已证是等边三角形）,

答案

因a2+b2+c2=ab+bc+ca,
2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)
a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ab
当a=b时,a2+b2=2ab,同理,易得,a=b=c
则△abc为等边三角形
则S△abc=1/2absinC==1/2a2sin60°=25根号3,a=10