已知正整数a满足192|a3+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．

题目

已知正整数a满足192|a³+191，且a＜2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．

答案

由192|a³+191，可得192|a³-1+192=3×2⁶，
且a³-1=（a-1）[a（a+1）+1]=（a-1）a（a+1）+（a-1）． （5分）
因为a（a+1）+1是奇数，
所以3×2⁶|a³-1等价于2⁶|a-1，
又因为3|（a-1）a（a+1），
所以3|a³-1等价于3|a-1．
因此有192|a-1，于是可得a=192k+1． （15分）
又∵0＜a＜2009，所以k=0，1，10．
因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为
11+192（1+2+…+10）=10571． （20分）