若m、n为整数,2n-m能被3整除,求证:8n的平方+10mn-7m的平方能被9整除

题目

若m、n为整数,2n-m能被3整除,求证:8n的平方+10mn-7m的平方能被9整除

答案

十字相乘法因式分解得
8n*n+10mn-7m*m
= (2N -M)×(4N + 7M)
= (2N -M)× [2(2N - M) + 9M]
令2n-m = 3A,则原式
= 3A ×(6A + 9M)
= 3A×3(2A + 3M)
= 9A(2A + 3M)
是9的倍数.