三角形三边a.b.c 证明a2/(b+c-a)+b2/(a+c-b)+c2/(a+b-c)>a+b+c

题目

三角形三边a.b.c 证明a2/(b+c-a)+b2/(a+c-b)+c2/(a+b-c)>a+b+c

答案

此题应仔细观察待证式左边的分母,可以发现（b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c,故可利用均值不等式解决.
解:由题易知a>0,b>0,c>0.
由均值不等式a+b>=2√(ab)有
[a^2/（b+c-a)]+（b+c-a)>=2√(a^2)=2a
[b^2/(c+a-b)]+(c+a-b))>=2√(b^2)=2b
[c^2/(a+b-c)]+(a+b-c)>=2√(c^2)=2c
上述三式相加即得
a^2/（b+c-a)+b^2/(c+a-b)+c^2/(a+b-c)>=a+b+c
所以原不等式得证.
a^2/(b+c-a)+b^2/(a+c-b)+c^2/(a+b-c)>=a+b+c
等价于
[a^2/(b+c-a)+(b+c-a)]+[b^2/(a+c-b)+(a+c-b)]+[c^2/(a+b-c)+(a+b-c)]>=2a+2b+2c
分别由均值不等式
a^2/(b+c-a)+(b+c-a)>=2a
b^2/(a+c-b)+(a+c-b)>=2b
c^2/(a+b-c)+(a+b-c)>=2c
相加得原不等式成立
注意：这个不等式适用于a,b,c分别为三角形的三边时,因为只有这样,才有a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0.