双曲线与圆x^2 + y^2 = 17有公共点A（4,-1）,圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行,求双曲线的标准方程.

题目

双曲线与圆x^2 + y^2 = 17有公共点A（4,-1）,圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行,求双曲线的标准方程.

答案

设圆的圆心为O(0,0),圆心与A的连线为y=-1/4x ,即在A处的切线的斜率K=4,
又A处的切线与双曲线的渐进线平行∴渐近线的斜率K=4
①当双曲线的焦点在X轴上时设双曲线的标准方程为（x^2/a^2)—（y^2/b^2)=1,K=b/a=4 即b=4a
∴方程可写为:X^2/a^-Y^2/16a^2=1,过点A（4,-1）（把A的坐标带入求b,计算问题自己搞定啦）
②当双曲线的焦点在Y轴上时设标准方程为（y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1,K=a/b=4即a=4b(剩余的步骤和①中一样,自己认真解解）