函数y=sinx+cosx+sinxcosx,(x∈R)的值域是 _ .

函数y=sinx+cosx+sinxcosx,(x∈R)的值域是 _ .

题目
函数y=sinx+cosx+sinxcosx,(x∈R)的值域是 ___ .
答案
令t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)∈[-
2
2
],则有 t2=1+2sinxcosx,
故函数y=sinx+cosx+sinxcosx=t+
t2-1
2
=
1
2
(t+1)2-1,
∴当t=-1时,函数取得最小值为-1,当t=
2
时,函数取得最大值为
2
+
1
2

故函数的值域为[-1,
2
+
1
2
],
故答案为:[-1,
2
+
1
2
].
令t=sinx+cosx∈[-
2
2
],则函数即y═
1
2
(t+1)2-1,再利用二次函数的性质求得函数的值域.

三角函数的最值.

本题主要考查求三角函数的最值,二次函数的性质,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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