已知函数f(x)=ax^2+bx+c中,a+b+c=0,a>b>c.若存在x属于R,使ax^2+bx+c=0成立.试判断f(x+3)的符号.当b不

题目

已知函数f(x)=ax^2+bx+c中,a+b+c=0,a>b>c.若存在x属于R,使ax^2+bx+c=0成立.试判断f(x+3)的符号.当b不
等于0时,证明关于x的方程ax^2+bx+c+a=0在区间（c/a,0）和（0,1）内各有一个实根.

答案

因为a＞b＞c,
所以3a＞a+b+c=0,3c＜a+b+c＜0
即 a＞0,c＜0
ax^2+bx+c=0成立,
△=b²-4ac
=(a+c)²-4ac
=(a-c)²＞0
所以x=(-b±√△)/2a
2ax=-b±(a-c)
f(x+3)=a(x+3)²+b(x+3)+c
=(ax²+bx+c)+6ax+9a+3b
=3(2ax+3a+b)
=3【-b±(a-c)+3a+b】
=3[3a±(a-c)]
=3(2a+c)或3(4a-c)
因为2a+c＞a+b+c=0,4a-c＞3a＞0
所以f(x+3)符号为正
2）我与团队里的几个人讨论了一下后,都觉得题目有一定问题
应该改成“当b不等于0时,证明关于x的方程ax^2+bx+c+a=0若有实根,则在区间（c/a,0）和（0,1）内各有一个实根.
证：因为关于x的方程ax^2+bx+c+a=0有实根
△=b²-4a(a+c)≥0得
b²+4ab≥0,
b(b+4a)
=b(a+b+3a)
=b(3a-c) ≥0
因为3a-c＞0所以b≥0,
又b≠0所以b>0
令g(x)=ax²+bx+a+c
则g(c/a)=a(a/c)²+b(a/c)+a+c=(c²+bc+a²+ac)/a=[c²+c(-a-c)+a²+ac]/a=a>0
而g(0)=a+c=-b0
所以g(x)两个零点分别在(c/a,0)和(0,1)内,即ax^2+bx+a+c=0两根分别在(c/a,0)和(0,1)内
由于b的符号原本不定,所以原题有一定问题
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