自椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB与OM平行.

题目

自椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且其长轴右端点A及短轴上端点B的连线AB与OM平行.
（1）求此椭圆的圆心率
（2）P为椭圆上的一点,F2为右焦点,当|PF1||PF2|取最大值时,求点P的坐标.

答案

（1）.由提议得：A(a,0) B(0,b) F1(-c,0) O(0,0)
因为M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,所以M的横坐标为-c,代人椭圆方程式中
解得y=b^2/a 和y=-b^2/a(舍去)
故M（-c,b^2/a）
因为AB与OM平行,所以斜率相等,即列出等式：b/-a=b^2/a/-c 即 得到 c=b
e=c/a=根号2/2
(2).
又不等式定理 a^2+b^2大于等于2ab,当且仅当a=b时取等号
故lPF1llPF2l取最大值的时候当且仅当lPF1l=lPF2l
故p(0,b)或p(0,-b)