如图,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2. (1)求SC与平面ASD所成的角余弦; (2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦
题目
如图,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
.
(1)求SC与平面ASD所成的角余弦;
(2)求平面SAB和平面SCD所成角的余弦.
答案
(1)作CE∥AB交AD的延长线于E,
∵AB⊥AD,
∴CE⊥AD.
又∵SA⊥面ABCD,
∴CE⊥SA,SA∩AD=A,
∴CE⊥面SAD,SE是SC在面SAD内的射影,
∴∠CSE=θ是SC与平面ASD所成的角,
易得SE=
,SC=
,
∴在Rt△CES中,cosθ=
=
(2)由SA⊥面ABCD,知面ABCD⊥面SAB,
∴△SCD在面SAB的射影是△SAB,
而△SAB的面积S
1=
×SA×AB=
,
设SC的中点是M,∵SD=CD=
,
∴DM⊥SC,DM=
∴△SCD的面积S
2=
×SC×DM
设平面SAB和平面SCD所成角为φ,
则由面积射影定理得cosφ=
=
(1)作CE∥AB交AD的延长线于E,由∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,可证得SA⊥面ABCD,进而CE⊥面SAD,则∠CSE是SC与平面ASD所成的角,解Rt△CES即可得到答案.
(2)由SA⊥面ABCD,知面ABCD⊥面SAB,△SCD在面SAB的射影是△SAB,分别求出而△SAB的面积和△SCD的面积,代入cosφ=
,即可得到答案.
二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角.
本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角,其中(1)的关键是证得∠CSE是SC与平面ASD所成的角,(2)的关键是证得,△SCD在面SAB的射影是△SAB,进而cosφ=.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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