已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是( ) A.(−∞,−3]∪[3,+∞) B.[−3,3] C.(−∞,−3)∪(3,+∞) D.(−3,3
题目
已知函数f(x)=-x
3+ax
2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.
(−∞,−]∪[,+∞)B.
[−,]C.
(−∞,−)∪(,+∞)D.
(−,)
答案
由f(x)=-x
3+ax
2-x-1,得到f′(x)=-3x
2+2ax-1,
因为函数在(-∞,+∞)上是单调函数,
所以f′(x)=-3x
2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)恒成立,
则△=
4a2−12≤0⇒−≤a≤,
所以实数a的取值范围是:[-
,
].
故选B
由f(x)的解析式求出导函数,导函数为开口向下的抛物线,因为函数在R上为单调函数,所以导函数与x轴没有交点,即△小于等于0,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围.
利用导数研究函数的单调性.
此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间,掌握函数恒成立时所取的条件,是一道综合题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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