知x,y,z都是正实数,且x+y=xy,x+y+z=xyz,则z的最大值是?

题目

知x,y,z都是正实数,且x+y=xy,x+y+z=xyz,则z的最大值是?

答案

由x+y+z=xyz得,xy+z=xyz,
所以z=1+1/(xy-1),
∵x>0,y>0
∴x+y≥2√xy
即x+y=xy≥2√xy
解得：xy≥4(当且仅当x=y=2时,取等号)
那么 z≤1+1/(4-1)=4/3
z≤4/3
那么z(max)=4/3