19日数学12.若在(1+ax)^n的展开式中,所有项的二项式系数之和为32,x^3的系数为-80,

题目

19日数学12.若在(1+ax)^n的展开式中,所有项的二项式系数之和为32,x^3的系数为-80,
（1）求a
（2）求(1+ax)^n的展开式的所有项的系数和.

答案

(1)因为展开式中,所有项的二项式系数之和为：
C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+…+C(n,k)+…+C(n,n)=2^n =32
所以n=5
(1+ax)^5的项T(r+1)=C(5,r)*1^(5-r)*(ax)^r=C(5,r)*(ax)^r,
其中含x^3的项为：T4=C(5,3) *(ax)^3=10a^3x^3
那么10a^3=-80 即a^3=-8 ,所以a=-2
(2)(1-2x)^5的展开式的所有项的系数和=(1-2)^5=-1 (直接令x=1就可求的得)