设f(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anxn为n次整数系数多项式,若an、a0、f（1）都为奇数,证明,f（x）=0无有理根

题目

设f(x)=a0+a1x+a2x^2+...+anxn为n次整数系数多项式,若an、a0、f（1）都为奇数,证明,f（x）=0无有理根

答案

若r/s是f(x)的有理根,则f(x)=(sx-r)g(x),其中g(x)是整系数多项式.因为,r|a0,s|an,且an、a0、都为奇数,所以r和s都是奇数,从而s-r是偶数.所以f(1)=(s-r)g(1)为偶数,产生矛盾!