阅读下面材料,并解决问题: (1)如图(1),等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则∠APB=_,由于PA,PB不在一个三角形中,为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点
题目
阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图(1),等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则∠APB=______,由于PA,PB不在一个三角形中,为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌______这样,就可以利用全等三角形知识,将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数.
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题:已知如图(2),△ABC中,
∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF
2=BE
2+FC
2.
答案
(1)将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,
∴△BAP≌△CAP′,
∴AB=AC,AP=AP′,∠BAP=∠CAP′,
∴∠BAC=∠PAP′=60°,
∴△APP′是等边三角形,
∴∠APP′=60°,
因为B P P′不一定在一条直线上
连接PC,
∴P′C=PB=4,PP′=PA=3,PC=5,
∴∠PP′C=90°,
∴△PP′C是直角三角形,
∴∠APB=∠AP′C=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°,
∴∠BPA=150°;
故答案是:150°,△ABP;
(2)把△ACF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG.连接EG.
则△ACF≌△ABG.
∴AG=AF,BG=CF,∠ABG=∠ACF=45°.
∵∠BAC=90°,∠GAF=90°.
∴∠GAE=∠EAF=45°,
在△AEG和△AFE中,
∵
∴△AEG≌△AFE.
∴EF=EG,
又∵∠GBE=90°,
∴BE
2+BG
2=EG
2,
即BE
2+CF
2=EF
2.
(1)此类题要充分运用旋转的性质,以及全等三角形的性质得对应角相等,对应边相等,得出∠PAP′=60°,再利用等边三角形的判定得出△APP′为等边三角形,即可得出∠APP′的度数,即可得出答案;
(2)利用已知首先得出△AEG≌△AFE,即可把EF,BE,FC放到一个直角三角形中,从而根据勾股定理即可证明.
勾股定理;全等图形;全等三角形的性质;全等三角形的判定.
熟练掌握旋转的性质,充分运用全等三角形的性质找到相关的角和线段之间的关系.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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