三角形ABD和三角形BCE是在直线同侧的两个等边三角形用坐标法证明|AE|=|CD|

题目

三角形ABD和三角形BCE是在直线同侧的两个等边三角形用坐标法证明|AE|=|CD|

答案

以A为原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,并使D、E落在第一象限内.
显然,A的坐标为（0,0）.令B、C的坐标分别为（m,0）、（m＋n,0）.
∵△ABD、△BCE都是等边三角形,且D、E在第一象限内,
∴D、E分别在AB、BC的垂直平分线上,且D、E与AC的距离容易求出分别为√3m/2、√3n/2.
∴D、E的坐标分别为（m/2,√3m/2）、（m＋n/2,√3n/2）.
由两点间距离公式,有：
｜AE｜＝√［（m＋n/2－0）^2＋（√3n/2－0）^2］＝√［（m＋n/2）^2＋3n^2/4］
　　　＝√（m^2＋mn＋n^2/4＋3n^2/4）＝√（m^2＋n^2＋mn）.
｜CD｜＝√［m/2－m－n）^2＋（√3m/2－0）^2］＝√［（m/2＋n）^2＋3m^2/4］
　　　＝√（m^2/4＋mn＋n^2＋3m^2/4）＝√（m^2＋n^2＋mn）.
∴｜AE｜＝｜CD｜.