求上半球面Z=根号下4-X的平方-Y的平方含在柱面X的平方+Y的平方=2X内部的面积

题目

求上半球面Z=根号下4-X的平方-Y的平方含在柱面X的平方+Y的平方=2X内部的面积

答案

上半球面z=√[4-x^2-y^2]的投影面的圆心为(0,0),半径为2
柱面x^2+y^2=2x,即(x-1)^2+y^2=1的横截面的圆心为(1,0),半径为1
曲面方程z=√[4-x^2-y^2]
曲面面积A1=∫∫dA=∫∫√(1+P^2+Q^2)dxdy
区域D1：0≤x≤2,0≤y≤1
则所求面积为A1的2倍,即A=2A1=2∫∫√(1+P^2+Q^2)dxdy
P=∂z/∂x=-x/√[4-x^2-y^2],Q=∂z/∂y=-y/√[4-x^2-y^2]
1+P^2+Q^2=1+(x^2+y^2)/(4-x^2-y^2)=4/(4-x^2-y^2)
dA=√(1+P^2+Q^2)dxdy=2/√[4-x^2-y^2]*dxdy
A=2∫∫dA=∫∫2/√[4-x^2-y^2]*dxdy (0≤x≤2,0≤y≤1)
=2∫∫2/√[4-r^2]*rdrdθ (极坐标化：0≤r≤2cosθ,0≤θ≤π/2)
=2∫dθ∫2/√[4-r^2]*rdr
=2∫4(1-sinθ)dθ
=8(θ+cosθ)
=8(π/2-1)
=4(π-2)