边长为1+√2,1+2√2,1+3√2,1+4√2的正方形的面积记作S1、S2、S3、S4、

题目

边长为1+√2,1+2√2,1+3√2,1+4√2的正方形的面积记作S1、S2、S3、S4、
1.分别计算S2-S1-4,S3-S2-8,S1-S3-12；
2.边长为1+n根2的正方形记作Sn,其中n为正整数,猜Sn+1-Sn-4n的值,并证明你的猜想.

答案

S1=3+2√2
S2=9+4√2
S3=19+6√2
S4=33+8√2
1.
S2-S1-4
=9+4√2-3-2√2-4
=2+2√2
S3-S2-8
=19+6√2-9-4√2-8
=2+2√2
S4-S3-12
=33+8√2-19-6√2-12
=2+2√2
2.
猜想结果为2+2√2
S(n+1)-Sn-4n=[1+(n+1)√2]^2-[1+n√2]^2-4n
=2(n+1)^2-2n^2+2√2-4n
=4n+2-2n^2+2√2-4n
=2+2√2