用数学归纳法证明：12|n^2(n^2-1),n是除零之外的自然数

题目

用数学归纳法证明：12|n^2(n^2-1),n是除零之外的自然数

答案

n=1,是12|0,成立
若n=k成立
即12|k²(k²-1)
则n=k+1
(k+1)²[(k+1)²-1]-k²(k²-1)
=(k²+2k+1)(k²+2k)-k²(k²-1)
=4k³+6k²+2k
=2k(2k+1)(k+1)
若3|k,因为k(k+1)是偶数,所以2k(2k+1)(k+1)是2*3*2=12的倍数
若k=1(mod3),k=3a+1,则2k+1=6a+3,是3的倍数,则2k(2k+1)(k+1)是2*3*2=12的倍数
若k=2(mod3),k=3a+2,则k+1=a+3,是3的倍数,则2k(2k+1)(k+1)是12的倍数
所以12|{(k+1)²[(k+1)²-1]-k²(k²-1)}
因为12|k²(k²-1)
所以12|(k+1)²[(k+1)²-1]
即n=k是成立就有n=k+1时成立
综上,命题得证