设R是A上的自反和传递关系,证明R∩R^-1是A上的等价关系.

题目

设R是A上的自反和传递关系,证明R∩R^-1是A上的等价关系.

答案

显然 R∩R^-1 是自反和传递的,因而只需证明 R∩R^-1 是对称的即可
任给 (x,y) 属于 R∩R^-1 ,即 x R y 且 x R^-1 y ,
则易知 y R-1 x 且 y R x 即 (x,y) 属于 R∩R^-1.
所以 R∩R^-1 是对称的.
证毕.