设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.
题目
设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)求导函数,可得f'(x)=a-sinx,x∈[0,π],sinx∈[0,1];
当a≤0时,f'(x)≤0恒成立,f(x)单调递减;当a≥1 时,f'(x)≥0恒成立,f(x)单调递增;
当0<a<1时,由f'(x)=0得x
1=arcsina,x
2=π-arcsina
当x∈[0,x
1]时,sinx<a,f'(x)>0,f(x)单调递增
当x∈[x
1,x
2]时,sinx>a,f'(x)<0,f(x)单调递减
当x∈[x
2,π]时,sinx<a,f'(x)>0,f(x)单调递增
当x∈[0,arcsina]时,单调递增,当x∈[arcsina,π]时,单调递减;
(Ⅱ)由f(x)≤1+sinx得f(π)≤1,aπ-1≤1,∴a≤
.
令g(x)=sinx-
x(0≤x
≤),则g′(x)=cosx-
当x
∈(0,arccos)时,g′(x)>0,当
x∈(arccos,)时,g′(x)<0
∵
g(0)=g()=0,∴g(x)≥0,即
x≤sinx(0≤x
≤),
当a≤
时,有
f(x)≤x+cosx①当0≤x
≤时,
x≤sinx,cosx≤1,所以f(x)≤1+sinx;
②当
≤x≤π时,
f(x)≤x+cosx=1+
(x−)−sin(x−)≤1+sinx
综上,a≤
.
(Ⅰ)求导函数,可得f'(x)=a-sinx,x∈[0.π],sinx∈[0,1],对a进行分类讨论,即可确定函数的单调区间;
(Ⅱ)由f(x)≤1+sinx得f(π)≤1,aπ-1≤1,可得a≤
,构造函数g(x)=sinx-
x(0≤x
≤),可得g(x)≥0(0≤x
≤),再考虑:①0≤x
≤;②
≤x≤π,即可得到结论.
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的最值,解题的关键是正确求导,确定函数的单调性.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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