设f(2)=1/2,f`(2)=0,∫f(x)dx=1(上限为2,下限为0),求定积分∫x^2f``(2x)dx(上限为1,下限为0）

题目

设f(2)=1/2,f`(2)=0,∫f(x)dx=1(上限为2,下限为0),求定积分∫x^2f``(2x)dx(上限为1,下限为0）
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答案

∫x^2f``(2x)dx=(1/2)∫x^2d(f`(2x))=(1/2)(x^2f'(2x)-2∫xf`(2x)dx)=(1/2)(x^2f'(2x)-∫xd(f(2x))=(1/2)(x^2f'(2x)-xf(2x)+∫f(2x)dx)=(1/2)[f'(2)-f(2)]-(1/2)∫(0->2)f(t)dt=-1/4-1/2=-3/4