偶函数fx满足f(x+2)=f(x)对一切实数x成立,且当(-2013,-2012)

题目

偶函数fx满足f(x+2)=f(x)对一切实数x成立,且当(-2013,-2012)
偶函数f(x)满足:f(x+2)=f(x)对一切实数x成立,且当x∈(-2013,-2012)时,f(x)=cosπ/2x,f（-2012）=a,f（-2013）=b,a＜b.
（1）若△ABC是钝角三角形,C是钝角,证明：f（sinA）＞f（cosB）
（2）若f（x）的值域是【a,b】,求a,b的值,并求方程f（x）=b的解集

答案

（1）f(x)是周期为2的函数,因此易知x∈(-1,0)时,f(x)=cos(πx/2)
又f(x)是偶函数,因此当x∈(0,1)时,f(x)=cos(-πx/2)=cos(πx/2),此时f(x)是减函数
由于A、B都是锐角,因此sinA、cosB∈(0,1),且此时y=sinx是增函数
又A+B<π/2,易知sinA∴f(sinA)>f(cosB)
（2）由（1）知,当x不是整数时,f(x)=cos(πx/2),此时的值域为(-1,1)
而当x∈Z时,f(x)∈{a,b}
因此若要当x∈R时f(x)的值域为[a,b],只能是a=-1、b=1,此时同样满足解析式f(x)=cos(πx/2)
∴当x∈R时,f(x)=cos(πx/2)
令f(x)=1,解得x=2k(k∈Z)