高中数学等差数列求和难题

题目

高中数学等差数列求和难题
1.有两个等差数列2,6,10,···,190及2,8,14,···,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.
2.已知数列（an）是等差数列,sn是其前n项的和,求证S6,S12-S6,S18-S12也成等差数列.

答案

1、第一个等差数列的公差是4,通项是4n-2,n从1到48取值.第二个等差数列的公差是6,通项是6m-4,m从1到34取值.
公共项为4n-2=6m-4,得m=(2n+1)/3.由1≤n≤48,得1≤(2n+1)/3≤97/3,所以m在1到32之间取值.同时因为2n+1是奇数,所以m只能取奇数：1、3、5、...、31.
所以两个数列有16个共同项,这些数还组成等差数列,公差是12,首项是2,所以新数列的各项之和是16×2＋16*15/2×12＝1472
2、设首项是a,公差是d,则S6＝6a+15d,S12＝12a+66d,S18＝18a+153d.S12-S6＝6a+51d,S18-S12＝6a+87d.
(S12-S6)-S6=36d,(S18-S12)-(S12-S6)＝36d,所以S6,S12-S6,S18-S12也成等差数列.