函数Y=F(x)是定义在R+上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+F(Y),f(1除以3）=1

题目

函数Y=F(x)是定义在R+上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+F(Y),f(1除以3）=1
1.求f(1）=?2.如果f(x)+f(2-X)<2,求X的取值范围

答案

f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1,则xy=1
所以f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
f(xy)=f(x)+f(y)
所以f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]=f(2x-x^2)
令x=y=1/3,则xy=1/9
所以f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=1+1=2
f(x)+f(2-x)<2,
所以f(2x-x^2)f(x)是减函数
所以2x-x^2>1/9
9x^2-18x+1<0
(3-2√2)/3又定义域是x>0
所以2-x>0,x<2
所以0综上
(3-2√2)/3

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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