实对称阵的多项式还是对称阵吗?比如A为实对称矩阵；B=A^5-4A^3+E,B也是对称矩阵吗?

题目

实对称阵的多项式还是对称阵吗?比如A为实对称矩阵；B=A^5-4A^3+E,B也是对称矩阵吗?

答案

定义：如果有n阶矩阵A,其各个元素都为实数,矩阵A的转置等于其本身(A^T= A) ,则称A为实对称矩阵.
B^T=(A^5-4A^3+E)^T=(A^5)^T-(4A^3)^T+E^T=(A^T)^5-4(A^T)^3+E=A^5-4A^3+E=B.
∴B^T=B,仍为对称阵.
其中运用了转置的基本运算公式
①(AB)^T=B^T·A^T ②(kA)^T=k·A^T ③(A+B)^T=A^T+B^T