证明曲线y=(x+1)/(x^2+1)有3个拐点在同一直线上

题目

证明曲线y=(x+1)/(x^2+1)有3个拐点在同一直线上
求出函数二阶导后,不知道怎么把三个点都求出来

答案

依次求一阶、二阶导数如下：
y'=[(x²+1)-(x+1)(2x)]/[(x²+1)²]
=(-x²-2x+1)/[(x²+1)²]
y"=[(-2x-2)(x²+1)²-(-x²-2x+1)(4x)(x²+1)]/[(x²+1)^4]
=2(x³+3x²-3x-1)/[(x²+1)³]
=2(x-1)(x²+4x+1)/[(x²+1)³]
令y"=0,可解得
x(1)=1,
x(2)=-2+√3,
x(3)=-2-√3
考虑y"在上述解分成的4个区间的符号变化规律,
可知上述解均为拐点的横坐标,
代入y的解析式,可得拐点纵坐标为
y(1)=1,
y(2)=(1+√3)/4,
y(3)=(1-√3)/4
即 曲线y的三个拐点为
A(1,1),
B(-2+√3,(1+√3)/4),
C(-2-√3,(1-√3)/4)
考虑向量,
AB=(-3+√3,(-3+√3)/4)=√3·(-√3+1,(-√3+1)/4)
BC=(-3-√3,(-3-√3)/4)=√3·(-√3-1,(-√3-1)/4)
由于向量AB、BC的横、纵坐标对应成比例,
所以AB∥BC,而B为公共点
所以 A、B、C共线.