设f(x)在[0,π]上可导,证明在(0,π)内至少存在一点ξ,使得…

题目

设f(x)在[0,π]上可导,证明在(0,π)内至少存在一点ξ,使得…
设f(x)在[0,π]上可导,证明在(0,π)内至少存在一点ξ,使得f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0.

答案

令：F(x)=f(x)*sinx又有：f(x)在[0,π]上可导,即F(x)在[0,π]连续那么：F(x)在[0,π]上连续F(x)在[0,π]上可导F(0)=F(π)=0故根据Rolle中值定理：存在一点ξ在(0,π)内,使得F'(ξ)=0即有：f'(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0...