已知f（x）是R上的偶函数,将f（x）的图象向右移动一个单位后,得到一个奇函数的图像,且f（2）＝－2,则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2011）＝?这一类题应如何解?

题目

已知f（x）是R上的偶函数,将f（x）的图象向右移动一个单位后,得到一个奇函数的图像,且f（2）＝－2,则f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2011）＝?这一类题应如何解?

答案

g(x)=f(x-1)奇函数g(x)=-g(-x)
f(x-1)=-f(-x-1)=-f(x+1)所以f(x)+f(x+2)=0①
f(x+2)+f(x+4)=0②
①-②=f(x)-f(x+4)=0,f(x)=f(x+4)是周期函数
设原式＝S ,2S=f（1）＋f（2）+f(2010)+f(2011) =2f(2)=-4,S=-2