已知椭圆x²/a²+y平方/b平方=1(a＞b＞0)的离心率是(根号6)/3,F是其左焦点,若直线x-(根号6)y=0与椭圆交于A、B两点,且向量FA·向量FB=-1,求该椭圆的方

题目

已知椭圆x²/a²+y平方/b平方=1(a＞b＞0)的离心率是(根号6)/3,F是其左焦点,若直线x-(根号6)y=0与椭圆交于A、B两点,且向量FA·向量FB=-1,求该椭圆的方程.

答案

椭圆x²/a²+y²/b²=1
离心率e=c/a=√6/3
∴c²/a²=6/9=2/3
∴a²=3/2c²
∴b²=a²-c²=1/2c²
∴椭圆方程为x²/(3/2c²)+y²/(1/2c²)=1
即2x²+6y²=3c²
{x-(√6)y=0
｛2x²+6y²=3c²
==>
12y²+6y²=3c²
==> y²=c²/6,x²=c²
设A(x1,y1),B(x2,y2),F(-c,0)
∴x1+x2=0,x1x2=-c²,y1y2=-c²/6
又FA●FB=-1
∴(x1+c,y1)●(x2+c)=-1
∴x1x2+(x1+x2)c+c²+y1y2=-1
∴-c²+c²-c²/6=-1
∴c²=6
∴椭圆方程为2x²+6y²=18
即x²/9+y²/3=1