四边形ABCD为正方形,E为BC上的中点,AE平分角BAF,求证AF=BC+CF.

题目

四边形ABCD为正方形,E为BC上的中点,AE平分角BAF,求证AF=BC+CF.
呵呵，其实第二个全等有这么好证吗？EHF全等EFC？

答案

好证.
证法一：
过点E作EG⊥AF于点G,连接EF
首先,易证
△ABE≌△AGE
从而AG=AB=BC
又有EG=EB=EC,
从而又可证
△EFG≌△EFC
从而GF=CF
所以,有
AF=AG+GF=BC+CF.证完.
证法二：
以E为圆心,以EB为半径在正方形内部作半圆.
因为AE平分角BAF
所以AF与这个半圆相切,设切点为G.
因为AB,DC也与这个半圆相切,
所以有
AG=AB=BC
GF=CF
所以,有
AF=AG+GF=BC+CF.证完.