算3重积分∫∫∫(D)(y`2+z`2)dv,其中D是由xoy面上的曲线y·2=2x绕X轴旋转一周的曲面与面x=5所围成的闭区域

题目

算3重积分∫∫∫(D)(y`2+z`2)dv,其中D是由xoy面上的曲线y·2=2x绕X轴旋转一周的曲面与面x=5所围成的闭区域

答案

①在xoy面上的曲线y^2=2x绕X轴旋转一周的曲面,它的方程是y^2+z^2=2x
它的几何位置是,把摆放在你面前的一个碗,碗口向着你放倒90度
②积分区域D就是,这个碗的碗口被平面x=5盖住
③把这个积分区域D投影到yoz面上,得到平面区域y^2+z^2≤10
④用柱面坐标计算这个3重积分,即,
先对x做定积分,再在平面区域y^2+z^2≤10上用极坐标做2重积分,如下：
原式=∫(0到2∏)dθ∫(0到√10)rdr∫(r^2/2到5) r^2dx
=2∏∫(0到√10)∫r^3（5-r^2/2）dr
=250∏/3.