设Ω是由曲面z=6-x2-y2及z＝x2+y2所围成的有界闭区域，求Ω的体积．

题目

设Ω是由曲面z=6-x²-y²及z＝

x2+y2

所围成的有界闭区域，求Ω的体积．

答案

由题意，z=6-x2-y2及z＝x2+y2的交线为6−x2−y2＝x2+y2解得：x2+y2=4（舍去x2+y2=9）∴Ω在xoy面的投影为D={（x，y）|x2+y2≤4}∴Ω的体积V＝∫∫∫Ω[6−x2−y2−x2+y2]dxdydz而Ω＝{(x，y，z)|x2+y2≤z≤6−x2−y2...

首先，求出Ω在xoy面的投影；然后将Ω的体积转化为三重积分计算即可．

本题考点：立体体积的计算；利用柱坐标计算三重积分．

考点点评：此题考查三重积分在柱面坐标系下的计算，但首先要找到积分函数和积分区域．