谁能用高中的知识来解决这个数模问题

题目

谁能用高中的知识来解决这个数模问题
每到节日,在人多的地方总有人摆设摊点,让人免费抽奖,而一等奖都是很丰厚诱人的.例如下文的抽奖条件：一个布袋内放入20个玻璃球,红、白各l0个,游人可从布袋随意抓出l0个球,如抓到：1.10个同颜色的,l0个红的或l0个白的,可得一等奖200元； 2.9个同颜色的,9红l白或9白l红.可得二等奖50元； 3.8个同颜色的,8红2白或8白2红,可得三等奖2元； 4.7个同颜色的,7红3白或7白3红,可得四等奖l元； 5.6个同颜色的,6红4白或6白4红,可得五等奖0.5元； 6．只有当抓到5个红球或5个白球时才罚游客五元钱.抽奖条件似乎很优惠,六种抽奖结果中五种对游客有利.其中一等奖奖金额还挺高的,只有一种结果不利,赔五元钱.其实这个抽奖条件有很大的诱惑力,也有很大的欺骗性.

答案

我们用概率统计中的排列组合知识来分析一下抽奖摊主与游客之间的对局,看看对局对谁有利.从20个相同的球中,随意抽出l0个球有=184756个结果.这184756个结果,每一结果出现的可能性都是相同的,它们可分为11组,其中第i组里的结果有包含i个白球组成,第i组的结果数目等于从l0个红球中抽取i个球的组合数乘以从l0个白球中抽取10-i个球的组合数,即,其中i=l,2,…,10. 11个组的结果数目的和等于,即： =l×l+10×10+45×45+120×120+210×210+252×252+2lO×210+120×120+45×45+10×10+l×l =l+l00+2025+14400+44l00+63504+44l00+14400+2025+l00+l =(1+1)+(100+100)+(2025+2025)+(14400+14400)+(44100+44100)+63504 = 2+200+4050+22800+88200+63504 = 184756= 这个等式即表示：每抽奖184756次,平均2次是“十个球同色”,有200次“九个球同色”,有4050次“八个球同色”,有28800次“七个球同色”,有88200次“六个球同色”,有63450次“五个球”同色.也就是从一等奖到五等奖,平均可得奖金： 2×200+200×50+4050×2+28800×l+88200×0.5 =400+l0000+8l00+28800+44l00 =91400(元) 平均挨罚：63504×5=317520(元) 因此每抽奖184756次,抽奖人员损失317520-91400=226120(元),对于一个公平的对局来说,得失应持平,奖金和罚金应相等,所以这样的对局是对游人的不利
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