在平面直角坐标系xoy中,已知圆x^2+y^2=1与x轴正半轴的交点为F,AB为该圆一条弦,直线AB的方程为X=M,记以AB

题目

在平面直角坐标系xoy中,已知圆x^2+y^2=1与x轴正半轴的交点为F,AB为该圆一条弦,直线AB的方程为X=M,记以AB
为直径的圆为圆C,记以点F为右焦点,短半轴长为b的椭圆为D.
问题；已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点,过点M且于X轴不垂直的直线交椭圆D于P,Q两点（点P在X轴上方）,点P关于X轴的对称点为N,设直线QN交X轴于点L,试判断OM乘OM是否为定值?

答案

（1）圆心C（m,0）,（-1＜m＜1）,
则⊙C的半径为：r=
从而⊙C的方程为（x-m）2+y2=1-m2,
椭圆D的标准方程为：
（2）当b=1时,椭圆D的方程为
x221+y2=1,
设椭圆D上任意一点S（x1,y1）,
x122+y12=1,y12=1-
∵SC2=(x1-m) 2+y12
=(x1-m) 2+1-
= (x1-2m)2+1-m2
≥1-m2=r2,
所以SC≥r．
从而椭圆D上的任意一点都不存在⊙C的内部．
（3）
​OL=b2+1为定值．
证明：设点P（x1,y1）,Q（x2,y2）,
则由题意,得N（x1,-y1）,x1≠x2,y1≠±y2,
从而直线PQ的方程为（y2-y1）x-（x2-x1）y+x2y1-x1y2=0,
令y=0,得xM=
x1y2-x2y1 y2-y1,
∵直线QN的方程为（y2+y1）x-（x2-x1）y-x1y2-x2y1=0,
令y=0,得xL=
x2y1+x1y2y2+y1．
∵点P,Q在椭圆D上,
∴
x12b2+1+
y12b2=1,
x22b2+1+
y22b2=1,
∴x12=b2+1-
b2+1b2y12,x22=b2+1-
b2+1b2y22,
∴xM•xL=
(b2+1-
b2+1b2y12)y22-(b2+1-
b2+1b2y22 )y12y22-y12
=
(b2+1)(y22-y12)y22-y12=b2+1．
∴
​OM•
​OL=xM•xL=b2+1为定值．