计算立体的体积,其中立体由旋转抛物面z=x^2+y^2与平面2x-2y-z=1围成

题目

计算立体的体积,其中立体由旋转抛物面z=x^2+y^2与平面2x-2y-z=1围成

答案

换算成柱坐标方程
抛物面z=x^2+y^2为z=ρ^2;
平面2x-2y-z=1为 z=2ρ(cosθ +sinθ)-1
它们的交线为
ρ^2=2ρ(cosθ +sinθ)-1
→cosθ +sinθ=(1/2)(ρ+1/ρ)
ρ=(cosθ +sinθ)±2√sin2θ
则体积为
V=∫(0,2π)dθ ∫(0,ρ) ρ·|ρ^2 -[2ρ(cosθ +sinθ)-1]|dρ
=∫(0,2π)dθ ∫(0,ρ) ρ·[ρ^2 -2ρ(cosθ +sinθ)+1]dρ
=∫(0,2π)dθ ∫(0,ρ) ρ·[ρ^2 -2ρ(cosθ +sinθ)+1]dρ
=∫(0,2π) (1/4)ρ^4 +(1/2)ρ^2 -(2/3)ρ^3·(cosθ +sinθ) dθ
=∫(0,2π) (1/4)ρ^4 +(1/2)ρ^2 -(1/3)ρ^3·(ρ+1/ρ) dθ
=∫(0,2π) (-1/12)ρ^4 +(1/6)ρ^2 dθ