∫f(2x-t)t dt =x的平方 积分上限是x,下限是0,两边求导可以将x直接带入到f(2x-t)中吗?

∫f(2x-t)t dt =x的平方 积分上限是x,下限是0,两边求导可以将x直接带入到f(2x-t)中吗?

题目
∫f(2x-t)t dt =x的平方 积分上限是x,下限是0,两边求导可以将x直接带入到f(2x-t)中吗?
我一本参考书上是这样给出答案的,但这种做法我以前没看见过,可以这样做吗?
答案
不能,得做变量替换2x-t=y,t=0对应y=2x,t=x对应y=x,dt=-dy,化为
积分(从x到2x)f(y)(2x-y)dy
=x积分(从x到2x)2f(y)dy-积分(从x到2x)yf(y)dy,
然后用微积分基本定理和求导的乘法规则求导得
积分(从x到2x)2f(y)dy+x【4f(2x)-2f(x)】-【4xf(2x)-xf(x)】.
如果学过含参变量的积分,倒是可以用那里面的公式求导.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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