判断函数y=x+2/x+1单调性,并证明

题目

判断函数y=x+2/x+1单调性,并证明

答案

本题可采用两种解法,定义法和微分法
解法一（微分法）
由y = (x+2)/(x+1)可知函数的定义域是x∈（-∞,-1）∪（-1,+∞）
对y = (x+2)/(x+1)求一阶导数是
y!= -[1/(x+1)2] ＜0
即函数y = (x+2)/(x+1),定义x∈（-∞,-1）∪（-1,+∞）上
y!＜0
∴函数y = (x+2)/(x+1),定义x∈（-∞,-1）∪（-1,+∞）上
是减函数
解法二(定义法)
X1 ,X2是定义在（-∞,-1）∪（-1,+∞）上的任意两个
数,且X1 < ,X2
由Y ＝(x+2)/(x+1)知
Y2-Y1＝[( X2+2)/( X2+1)]－ [( X1+2)/( X1+1)]
＝（X1 －X2）/( X1+1)×( X2+1)
Y2－Y1＝（X1 －X2）/( X1+1)×( X2+1)
⑴ 当X1 ,X2是定义在（-∞,-1）,X1 < ,X2时
X1 －X2＜0,( X1+1)＜0,( X2+1)＜0
∴Y2－Y1＝[（X1 －X2）/( X1+1)×( X2+1)]＜0
Y2＜Y1
即当X1 ,X2是定义在（-∞,-1）,X1 < ,X2时,Y2＜Y1
∴Y ＝(x+2)/(x+1),在（-∞,-1）是减函数
⑵当X1 ,X2是定义在（-1,+∞）,X1 < ,X2时
X1 －X2＜0,( X1+1)＞0,( X2+1) ＞0
∴Y2－Y1＝[（X1 －X2）/( X1+1)×( X2+1)]＜0
Y2＜Y1
即当X1 ,X2是定义在（-1,+∞）,X1 < ,X2时,Y2＜Y1
∴Y ＝(x+2)/(x+1),在（-1,+∞）是减函数
综合⑴ ,⑵得知
函数Y ＝(x+2)/(x+1) 定义在（-∞,-1）∪（-1,+∞）上是减函数