如图,三棱柱ABC-A1B1 C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=BC=AA1=2,AC=22,E,F分别是A1B,BC的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面AAlClC; (Ⅱ)证明:AE⊥平面BEC.
题目
如图,三棱柱ABC-A
1B
1 C
1中,侧棱AA
1⊥平面ABC,AB=BC=AA
1=2,AC=2
,E,F分别是A
1B,BC的中点.
(Ⅰ)证明:EF∥平面AA
lC
lC;
(Ⅱ)证明:AE⊥平面BEC.
答案
(I)连接A
1C,则
∵△BA
1C中,E,F分别是A
1B,BC的中点.
∴EF∥A
1C
∵EF⊄平面A A
lC
lC,A
1C⊂平面A A
lC
lC,
∴EF∥平面A A
lC
lC;
(II)∵△ABC中,AB=BC=2,AC=2
,
∴AB
2+BC
2=8=AC
2,可得AB⊥BC
∵AA
1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AA
1⊥BC
∵AB、AA
1是平面AA
1B
1B内的相交直线,∴BC⊥平面AA
1B
1B
∵AE⊂平面AA
1B
1B,∴AE⊥BC
∵△AA
1B中,AB=AA
1=2,∴AE⊥A
1B
∵A
1B、BC是平面A
1BC内的相交直线,
∴AE⊥平面A
1BC,即AE⊥平面BEC.
(I)连接A1C,在△BA1C中利用中位线定理,证出EF∥A1C,再结合线面平行的判定定理即可证出EF∥平面A AlClC;
(II)在△ABC中利用勾股定理的逆定理证出AB⊥BC,再由AA1⊥平面ABC证出AA1⊥BC,可得BC⊥平面AA1B1B.而AE⊂平面AA1B1B,所以AE⊥BC,等腰△AA1B中运用“三线合一”证出AE⊥A1B,最后利用线面垂直的判定定理,可得AE⊥平面BEC.
直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
本题给出特殊的三棱柱,求证线面平行和线线垂直,着重考查了空间直线与平面垂直的判定与性质、线面平行的判定定理等知识,属于基础题.
举一反三
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