如图,以△ABC的各边为一边分别向BC边的同侧作正三角形ABD,BCF,ACE,连接FD,FE当△ABC满足什么条件时,四边形AEFD是菱形?证明你的结论

题目

如图,以△ABC的各边为一边分别向BC边的同侧作正三角形ABD,BCF,ACE,连接FD,FE当△ABC满足什么条件时,四边形AEFD是菱形?证明你的结论

答案

分析：
（1）当ADFE是菱形时,AE=AD,此时AB=AC；
（2）当ADFE是矩形时,∠EAD=90°,由此可求得∠BAC的度数）
（3）当ADFE是正方形时,∠EAD=90°,且AE=AD,联立（1）（2）的结论即可．
证明：
（1）若平行四边形AEFD是菱形,则AE=AD；
此时AE=AB=AC=AD,即△ABC是等腰三角形；
故△ABC满足AB=AC时,四边形AEFD是菱形；
（2）若平行四边形AEFD是矩形,则∠EAD=90°；
∴∠BAC=360°-90°-60°-60°=150°；
即△ABC满足∠BAC=150°时,四边形AEFD是矩形
（3）综合（1）（2）的结论知：当△ABC是等腰直角三角形时,四边形AEFD是正方形